alex_khavr: (Default)
Оказывается, понятие "треугольные числа" уже существует. Обозначает, правда, совсем другое, но копирайт...
Придётся придумывать другое.
alex_khavr: (5)
А кто подскажет ссылку на популярное описание того, как графически решаются дифуры?
alex_khavr: (5)
А вот теперь всё складывается. Кажется я понял, в чём был подвох со сложением и умножением в треугольной арифметике.

Если в линейной (простой) арифметике у нас нет вариантов, куда плюсовать очередную единицу (есть два варианта, но при плюсовании в отрицательную сторону мы попросту переносим ноль, что аналогично прибавлению к положительной стороне), то в арифметике треугольной нам следует для каждой операции задавать направление действия – к какой стороне мы будем прикладывать очередную единицу.
Рассмотрим для начала вариант, когда мы в процессе прибавления не пересекаем метаноль (как в линейной не прибавляли бы отрезок с отрицательной стороны). Тогда у нас есть два варианта на каждую операцию, и мы не можем просто записать 1+1+1+1 – нам надо для каждой из единиц (кроме первой) указать место, куда её приткнуть. Что возвращает нас к представлению треугольного числа в виде ветвящегося дерева – графу с трёхсвязными вершинами.

Для умножения же как для операции повторения прибавления счётное количество раз ситуация ещё сложнее. Фактически, нам нужно задать алгоритм, в котором порядок прибавления как-то регулировался бы. Например, мы можем задать умножение как прибавление несколько раз без изменения полярности (т.е. постоянно прибавляем треугольники к последнему треугольнику, допустим, по часовой стрелке). Тогда мы после 5 таких операций придём к правильному 6-угольнику, занимающему одну треть начала координат.
Если мы зададим умножение с поочерёдной сменой полярности, то получим растущую «змейку» вдоль метаноля (у нас будет то трапеция, то параллелепипед шириной в один треугольник).
А можно задать умножение как прибавление единицы к каждой из трёх сторон каждый раз. Тогда мы получил ряд растущих «крепких» треугольных чисел. И ноль можно сдвигать каждый раз, как мы это делаем в линейной арифметике.
В общем, есть уже три варианта операции умножения. Правильного среди них нет – все имеют место быть :)

Чёй-то меня поперло :)
alex_khavr: (5)
А кто знает, комплексное число корректно представлять геометрически в виде отрезка, находящегося под углом к числовой оси?
alex_khavr: (5)
Кто о чём, а я всё о том же.

Если мы представим числовую ось как складной метр со звеньями-единицами, то все операции элементарной теории чисел легко показать на примере складывания метра с известным количеством звеньев. Например, кратность числу a означает, что мы отмеряем a звеньев, а потом складываем метр по длине получившегося отрезка. Если «хвостика» нет, то число кратно a.

По аналогии, числовая плоскость для треугольного числа представляется в виде поверхности, на которой выдавлены складки-перегибы так, чтобы вся площадь была «вымощена» равносторонними треугольниками. Кратность некого треугольного числа B треугольному числу А означает, что из числа B (которое, как мы помним, можно выложить на числовой плоскости счётным количеством единичных равносторонних треугольников) можно «свернуть» по перегибам треугольник А так, чтобы не оставалось незадействованных участков поверхности.

Теперь вот сижу и думаю, а может вместо того, чтобы выдумывать арифметические действия для треугольных чисел на числовой плоскости (а это сейчас главная проблема), а потом выяснять, какие у них будут свойства, проще задать все элементарные числовые свойства (вроде Эвклидова алгоритма, чисел Фибоначчи и пр.) по определению, а уже из этого вывести арифметику? (Чёй-то у меня есть подозрения, что такое уже делали для обычных чисел – лет так 3000 назад).
alex_khavr: (5)
И снова о погоде...
Нет, меры для треугольника я пока не нашёл. Зато ранней ночью я плодотворно пообщался с умным человеком - и меня осенило. Я в очередной раз слажал! Нифига я не задал новое "суммирование" на треугольных весах. Суммирование натуральных чисел на чашках весов (как и сам ряд натуральных чисел) осталось прежним. Меняя веса на чашках, я задаю дроби, i.e. ряд рациональных чисел - т.е. на треугольных весах это будут "рациональные" "числа". И конечно это будет не ряд, а "массив" (блин, термин уже занят; надо придумать другой). В нём "числа" будут соотносится не как "больше" и "меньше" (как в ряду на линейных весах), а... м-м... пускай "иньно", "яньно" и "хренно" :) (Вариант "кря", "хрю" и "мяу" по-прежнему не снят с повестки дня).

Итого. Суммирование осталось прежним (если не придумаю чего-то другого (а хотелось бы)). Определилась операция "деления". Неким аналогом вычетания становится поворот. Добавляется новое действие - инверсия полярности.

Мораль: приятная беседа - залог прогресса :)
alex_khavr: (5)
Назовите меня идиотом, но, кажется, я нашёл искомую меру.

Итак, опять пойдём по аналогии. Что можно считать мерой в «линейных» весах. Если мы увеличиваем вес на одной из чаш, то уравновесить их можно двумя способами: 1) сократить длину плеча и 2) передвинуть точку опоры ближе к чаше. В обоих случаях мерой является соотношение между отрезками на единичном отрезке.
Если мы добавим вес на одну из чаш треугольных весов, мы также можем уравновесить их двумя способами: 1) исказить треугольник за счёт перемещения «увеличинной» чаши, так, чтобы центр масс оставался на месте (сопадал с опорой) и 2) переместить опору так, чтобы весы находились в равновесии. Очевидно, что между этими двумя способами тоже есть однозначный числовой переход.
Что же будет мерой в первом случае? (Тут я говорю по интуиции, ибо не знаю, как проверить.) Мне кажется, что это будет угол, на который повернётся «единичная прямая» относительно первоначального положения (за счёт сдвига одной из точек). Интересно, что шкала при этом будет вариироваться от 0 до 30 градусов (следует учитывать, что это не прямая мера, а аналог «обратной» из «линейных» весов).

Теперь жду критики :)

Кстати, а ведь первыми операциями в такой системе должны быть не сумма и отрицание, а поворот и инверсия полярности.


UPD. Нашёл один прокол. :( Надо было не полениться и сразу рассмотреть случай с двумя увеличенными весами. Будем думать дальше.
alex_khavr: (5)
Чёй-то меня попёрло. Выкладываю идеи, пока стыдно не стало.

Итак, нам нужна мера для треугольных весов. Мера в весах «линейных» берётся на основе числовой оси. Числовая ось определяется наличием на прямой двух точек, из которых одну мы волюнтаристически принимаем за начало. Этот выбор (одна или другая точка) связан со своим антиподом симметрией. После него обратное направление считается отрицательным. Ах, ну да, расстояние между точками определяет единицу.Read more... )
alex_khavr: (5)
Триподальная математика (ну ладно, трилаттеральная, но "триподальная" - более красиво звучит:))

Кто о чём, а вшивый о бане. То есть я опять возвращаюсь к старой теме – нелинейной математике. Точнее, к разделу математики, основанной не на понятии о двустороннем равновесии, а чём-то другом. (Кто знаком со мной довольно давно, наверно помнит посты на эту тему. Для остальных: вот ссылки: http://alex-khavr.livejournal.com/167462.html
http://alex-khavr.livejournal.com/203818.html ) Read more... )
alex_khavr: (5)
Возвращаясь к старой теме.

Рассмотрим для простоты задачу со связью между тремя объектами. Геометрическим аналогом такой проблемы будет описание треугольника _не через расстояния между вершинами (и производные от оных)_.

Иначе говоря, надо найти такую величину, которая бы соответствовала треугольнику (трём точкам) так же, как величина расстояние соответствует двум точкам.

ЗЫ Для разминики мозгов можете перечислить причины, по которым площадь под данные критерии не подходит.
alex_khavr: (5)
Алексей Хаврюченко
ПОЧУВСТВОВАТЬ СЕБЯ ДЕРЕВОМ
или
Размышления дилетанта

Read more... )

Profile

alex_khavr: (Default)
alex_khavr

March 2014

S M T W T F S
       1
2 345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031     

Syndicate

RSS Atom

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jul. 24th, 2017 06:36 am
Powered by Dreamwidth Studios